直线在三面投影体系中，按其对投影面的相对位置可分为三种情况：投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。

（1）投影面平行线

平行于一个投影面倾斜于另两个投影面的直线，称为投影面平行线。与H面平行的直线称为水平线；与V 面平行的直线称为正平线；与W面平行的直线称为侧平线。这三种平行线的直观图、投影图和投影特性见表3-2。

表3-2 投影面平行线

名称	立体图	投影图	投影特性
水平线（∥H）			（1） a′b′∥OX，a″b″∥OYW （2）ab = AB （3）反映倾角β 、γ大小
正平线（∥V）			（1） ab∥OX，a″b″∥OZ （2）a′b′ = AB （3）反映倾角α 、γ大小
侧平线（∥W）			（1）ab∥OYH，a′b′∥OZ （2）a″b″ = AB （3）反映倾角α 、β大小

注：直线与投影面的夹角，称为直线对投影面的倾角。直线对H面、V面和W面的倾角分别用α、β和γ表示。

下面以表3-2中水平线为例，进一步说明其投影特性。

由于水平线平行于H面，所以水平线上的所有点均与H面距离相等（即坐标相等）。因此，它的V、W两面投影分别平行于相应的投影轴，即a′b′∥OX，a″b″∥OYW。水平线的H投影反映线段的实长，即ab=AB，且ab与OX轴的夹角反映该直线对V面的倾角β，与OYW轴的夹角反映该直线对W面的倾角γ。

正平线和侧平线有类似的投影特性。

由表3-2可见，投影面平行线的投影特性为：

①直线在所平行的投影面上的投影反映实长，此投影与投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的夹角实形；

②直线在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，但不反映实长。

（2）投影面垂直线

垂直于某一投影面的直线，称为投影面垂直线。与H面垂直的直线称为铅垂线；与V 面垂直的直线称为正垂线；与W面垂直的直线称为侧垂线。这三种垂直线的直观图、投影图和投影特性见表3-3。

表3-3 投影面垂直线

名称	立体图	投影图	投影特性
铅垂线（⊥H）			（1）H投影积聚为一点 （2）a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW （3）a′b′ = a″b″= AB
正垂线（⊥V）			（1）V投影积聚为一点 （2）ab⊥OX，a″b″⊥OZ （3）ab = a″b″= AB
侧垂线（⊥W）			（1）W投影积聚为一点 （2）a′b′⊥OZ，ab⊥OYH （3）a′b′ = ab = AB

下面以表3-3中铅垂线为例，进一步说明其投影特性。

铅垂线垂直于H面，所以铅垂线AB在H面上的投影为一点a（b），有积聚性，这是识别铅垂线的投影特征。铅垂线平行于OZ轴，因此它的V、W两面投影均平行于OZ轴，而它的V投影垂直于OX轴，W投影垂直于OY_W轴，即a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW；铅垂线平行于V、W两投影面，所以它的V、W两投影均反映线段的实长。

正垂线和侧垂线有类似的投影特性。

由表3-3可见，投影面垂直线的投影特性为：

①直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点；

②直线在另两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长。

（3）一般位置直线

与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。如图3-7所示，一般位置直线AB与三个投影面H、V、W都倾斜，倾斜角度分别为α、β和γ。

一般位置直线的投影特性为：

①直线的三个投影均倾斜于投影轴；

②直线的三个投影与投影轴的夹角，均不反映直线与任何投影面的倾角，α、β和γ均为锐角；

③各投影的长度小于直线的实长。

如上所述，投影面平行线、投影面垂直线在某一投影面上的投影总能反映空间直线段的实长及其与投影面的真实倾角，但一般位置直线在各投影面上的投影既不能反映线段的实长，也不能反映直线与投影面的倾角。在实际应用中，经常需要按照投影求出直线与投影面的倾角及线段的实长。通常将这种方法称为直角三角形法。

（1）求直线段对H面的倾角α及实长

分析图3-8（a）可知，直线AB与其水平投影ab决定的平面ABbaH面，在该平面内过B点作ab的平行线交Aa于A_o，则构成一直角ΔAA₀B。在直角ΔAA₀B中，直角边A₀B为水平投影ab之长，另一直角边AA₀则为A、B两点到H面的距离差（z坐标差）；斜边AB与直角边BA₀夹角即为直线AB对H面的倾角α；斜边AB即为其实长。因此，只要求出直角ΔAA₀B的实形，即可求得AB对H面的倾角α及其实长。

在投影图中，AB的水平投影ab已知，A、B两点到H面的距离之差，可由其正面投影求得，由此即可作出直角ΔAA₀B的实形。

显然，图3-8（b）中的直角ΔA₀ba和图3-8（c）中的直角ΔB₀a′₁a′及图3-8（a）所示的直角ΔAA₀B是全等直角三角形。

（2）求直线段对V面的倾角β及实长

分析图3-9（a）可知，直线AB与其正面投影a′b′ 决定的平面ABb′a′ 垂直于V面，在该平面内过A点作a′b′ 的平行线交Bb′于B₀，则构成一直角ΔAB₀B。在直角ΔAB₀B中，直角边AB₀为正面投影a′b′ 之长，另一直角边BB₀则为B、A两点到V面的距离差（y坐标差）；斜边BA与直角边AB₀夹角即为直线AB对V面的倾角β；斜边AB即为其实长。因此，只要求出直角ΔAB₀B的实形，即可求得AB对V面的倾角β及其实长。

在投影图中，AB的正面投影a′b′ 已知，B、A两点到V面的距离之差，可由其水平投影求得，由此即可作出直角ΔAB₀B的实形。

显然，图3-9（b）中的直角ΔB₀ a′b′ 和图3-9（c）中的直角ΔbA₀ b₁及图3-9（a）所示的直角ΔABB₀是全等直角三角形。

直线对W面的倾角γ的求法，可根据求α、β的原理进行。所不同的是，求γ角是线段的侧面投影和两端点到W面的距离差（x坐标差），作为直角三角形的两个直角边。

通过上述分析可知，在求一般线段的实长和倾角的直角三角形中，只要知道直角三角形四个要素（两条直角边、斜边、一锐角）中的任意两个，便可作出该直角三角形，这就是用直角三角形法解题的依据。

点在直线上，即点属于直线。属于直线上的点的投影具有如下特性：

（1）点在直线上，其各面投影必在直线的同名投影上，且符合点的投影规律。如图3-10所示，直线AB上的点C，其投影c′、c、c″，分别位于a′b′、ab和a″b″上，且c′c和c′c″ 分别垂直于相应的投影轴。

（2）直线上的点分直线段所成的比例等于点的投影分直线段同名投影所成的比例。如图3-10（a）所示，直线上的点C把直线段分为两段AC、CB，点C的投影c′ 将a′b′ 分为a′c′ 和c′b′，由于Aa′∥Cc′∥Bb′，线段AB与a′b′ 被Aa′、Cc′、Bb′一组平行投影线所截割，所以AC∶CB = a′c′∶c′b′ ，同理可得：AC∶CB = ac∶cb = a″c″∶c″b″。

例题

两直线在空间的相对位置分为平行、相交、交叉和垂直（相交和交叉的特例）四种情况。下面分别讨论它们的投影特点。

（1）两直线平行

根据正投影的平行性可知：空间两直线相互平行，则它们的同名投影也相互平行，且同名投影的长度之比等于空间两线段的长度之比。如图3-11已知AB∥CD，则a′b′∥c′d′，ab∥cd，且AB∶CD = a′b′∶c′d′ = ab∶cd。如果补出侧面投影，也一定是a″b″∥c″d″，且AB∶CD = a″b″∶c″d″。

在投影图中，若判别两直线是否平行，一般只要看它们的正面投影和水平投影是否平行就可以了。但对于两直线均为某投影面平行线时，若无直线所平行的投影面上的投影，仅根据另两投影的平行是不能确定它们在空间是否平行的，应从直线在所平行的投影面上的投影来判定是否平行。

如图3-12（a）所示，AB和CD为两条侧平线，看它们的正面投影a′b′∥c′d′ 和水平投影ab∥cd，但不能判定AB和CD是否平行，还需要补出它们的侧面投影来进行判定。从补出的侧面投影可以看出a″b″ 与c″d″ 不平行，这说明空间两直线AB和CD不平行。假若补出它们的侧面投影平行，则空间两直线一定平行。

同样，如图3-12（b）、（c）所示，判定两条水平线和两条正平线是否平行，都应分别从它们的水平投影和正面投影进行判定。

（2）两直线相交

两直线相交必有一个交点，交点是两直线的公共点。根据前章所述正投影的从属性和定比性，可以得到两直线相交的特点：空间两直线相交，则它们的同名投影必定相交，而且各同名投影的交点就是两直线空间交点的同名投影。

如图3-13所示，一般位置直线AB和CD相交于点K，因为点K即属于AB，又属于CD，所以，k必属于ab和cd，即k为ab和cd的交点。同理，k′是a′b′ 和c′d′ 的交点。

在投影图中，若判别两直线是否相交，对于两条一般位置直线来说，只要任意两个同面投影的交点的连线垂直于相应的投影轴，就可判定这两条直线在空间一定相交。但是当两条直线中有一条直线是投影面平行线时，应利用直线在所平行的投影面内投影来判断。图3-14（a）中，虽然ab和cd交于k， a′b′ 和c′d′ 交于k′，且kk′⊥OX，但因为CD为侧平线，观看侧面投影，a″b″ 和c″d″ 虽然相交，而该交点与k′的连线同OZ轴不垂直，所以该两直线不相交。若只根据V、H两面投影来判定，如图3-14（b）所示，则需比较ck和kd的线性比与c′k′ 和k′d′ 的线性比是否相等，如果相等则相交，不等则不相交。

（3）两直线交叉

两直线既不平行也不相交，称为两直线交叉。显然，两交叉直线的投影，既无两直线平行时的特性，也无两直线相交时的特性。它们的同面投影可表现为有一个或两个同面投影互相平行（如图3-12（a）），但不可能有三个同面投影互相平行。也可表现为有一个、两个甚至三个同面投影相交（如图3-14（a）），但三个同面投影的交点不符合一个点的三面投影规律。

图3-15 两直线交叉

如图3-15（a）所示，两交叉直线AB和CD的水平投影的交点，是直线AB上的点Ⅰ和CD上的点Ⅱ的投影，因为Ⅰ、Ⅱ两点同位于一条铅垂线上，故水平投影重合于一点。两直线正面投影的交点，则是AB上的点Ⅲ和CD上的点Ⅳ的投影，因为Ⅲ、Ⅳ两点位于一条正垂线上，故其正面投影重合为一点。

因此，在投影图上，如果两直线有两同面投影相交，而交点的连线不垂直于相应的投影轴，则空间这两直线一定交叉。如图3-15（b）所示，ab与cd、 a′b′ 与c′d′ 都有交点，但这两点的连线与投影轴OX不垂直，由此可判定AB和CD为两交叉直线。

既然两交叉直线同面投影的交点是两直线上两个点的投影重合在一起的，那么就须判定其可见性。如图3-15（b）所示，从正面投影可看出，点Ⅰ在点Ⅱ之上，故其水平投影1为可见，2为不可见，写成1（2）。从水平投影可看出，点Ⅲ在点Ⅳ之前，故其正面投影3′ 为可见，4′ 为不可见，写成3′（4′）。

（4）两直线垂直

两直线之间的夹角，可以为锐角、钝角、直角。一般情况下，投影不反映两直线夹角的真实大小，如果一个角不变形地反映在某一投影面上，那么这个角的两边平行于该投影面。但是对于直角，只要有一边平行于某一投影面，则该直角在该投影面上的投影仍然是直角。

图3-16 两直线相互垂直

如图3-16（a）所示，空间两直线AB和AC相互垂直，其中直线AC平行于H面，则这两直线在H面上的投影ab和ac互相垂直。证明如下：

因为AC∥H面，Aa⊥H面，所以Aa⊥AC。由于AC同时垂直AB和Aa，故AC必垂直AB和Aa所决定的平面ABba。又因为ac∥AC，即ac也垂直于平面ABba，所以ac⊥ab。

反之，如果两直线的某一投影面互相垂直，而且其中有一条直线平行于该投影面，则这两直线在空间一定互相垂直。

例题

例题

3.3 平面的投影

1. 平面的表示方法

视频讲解主讲人：解咏平 教授02′47″

由平面几何可知，平面可由下列几何元素来确定：

（1）不在同一条直线上的三个点（图3-17（a））；

（2）一直线和线外一点（图3-17（b））；

（3）两平行直线（图3-17（c））；

（4）两相交直线（图3-17（d））；

（5）平面图形（即平面的有限部分，例如三角形等）（图3-17（e））。

图3-17 用几何元素表示平面

图3-17是这些几何要素的两面投影，即画法几何中表示平面的五种方法。这五种方法是可以互相转换的，例如连接图3-17（a）中的A、B两点，即得图3-17（b）；过图3-17（b）中的点C作一直线平行于AB，即得图3-17（c）；……这样转换的结果，几何元素虽然在形式上有所变化，但依然表示着原来一组几何元素所确定的平面。本书多用平面形（如三角形、长方形、梯形等）来表示平面。

2. 各种位置平面的投影特性

视频讲解主讲人：解咏平 教授04′13″

根据平面与投影面的相对位置，平面可分为投影面平行面、投影面垂直面、一般位置平面三种情况。

（1）投影面平行面

视频讲解主讲人：解咏平 教授13′47″

与一个投影面平行的平面，称为投影面的平行面。平行于H面的平面，称为水平面；平行于V面的平面，称为正平面；平行于W面的平面，称为侧平面。这三种平行面的直观图、投影图和投影特性见表3-4。

表3-4 投影面平行面

名称	立体图	投影图	投影特性
水平面（∥H）			（1）H投影反映实形 （2）V 、W 投影均积聚为直线段，且分别平行于OX、OYW轴
正平面（∥V）			（1）V 投影反映实形 （2）H、W 投影均积聚为直线段，且分别平行于OX、OZ轴
侧平面（∥W）			（1）W投影反映实形 （2）V、H投影均积聚为直线段，且分别平行于OZ、OYH轴

下面以表3-4中水平面为例，进一步说明其投影特性。

由于水平面平行于H面，必然垂直于V面和W面，所以水平面的V、W面投影积聚为一直线，且平行于相应的投影轴。这是识别水平面的投影特征。水平面的H面投影反映平面的实形。

正平面和侧平面有类似的投影特性。

由表3-4可见，投影面平行面的投影特性为：

①平面在它平行的投影面上的投影反映实形；

②平面的其他两个投影积聚成线段，并且平行于相应的投影轴。

（2）投影面垂直面

视频讲解主讲人：解咏平 教授15′37″

与一个投影面垂直的平面，称为投影面的垂直面。垂直于H面的平面，称为铅垂面；垂直于V面的平面，称为正垂面；垂直于W面的平面，称为侧垂面。这三种垂直面的直观图、投影图和投影特性见表3-5。

表3-5 投影面垂直面

名称	立体图	投影图	投影特性
铅垂面（⊥H）			（1）H投影积聚为一直线，且反映β、γ的大小 （2）V、 W投影不反映实形，但有相仿性
正垂面（⊥V）			（1）V投影积聚为一直线，且反映α、γ的大小 （2）H、 W投影不反映实形，但有相仿性
侧垂面（⊥W）			（1）W投影积聚为一直线，且反映α、β的大小 （2）V、H投影不反映实形，但有相仿性

注：平面与投影面的夹角，称为平面对投影面的倾角。平面对H面、V面和W面的倾角分别用α、β和γ表示。

下面以表3-5中铅垂面为例，进一步说明其投影特性。

由于铅锤面垂直于H面，必然倾斜于V面和W面，所以铅锤面的H面投影积聚为一斜直线，该积聚斜线与OX轴的夹角，反映该平面对V面的倾角β；与OY轴的夹角，反映该平面对W面的倾角γ。这是识别铅垂面的投影特征。铅垂面的V、W投影不反映原几何图形的实形，但是原几何图形的相仿形。

正垂面和侧垂面有类似的投影特性。

由表3-5可见，投影面垂直面的投影特性为：

①平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，并且该投影与投影轴的夹角等于该平面与相应投影面的倾角；

②平面的其他两个投影不是实形，但有相仿性。

（3）一般位置平面

视频讲解主讲人：解咏平 教授07′20″

与三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图3-18（a）所示。

因为一般位置平面与三个投影面都倾斜，所以平面图形的三个投影均不反映实形，也无积聚性，但具有原图形的相仿性。在图3-18（b）中，三面投影Δa′b′c′、Δabc、Δa″b″c″ 均比原几何图形ΔABC小。

3. 平面上的点和直线

（1）平面上的点

视频讲解主讲人：解咏平 教授17′34″

点在平面上的几何条件是：如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。

如图3-19（a）所示，点E在两相交线AB和BC决定的平面P内的直线AB上，所以点E在平面P上。图3-19（b）为其投影图。平面P的投影用两相交线AB和BC表示，点E的投影在已知直线AB的同名投影上，即e、e′ 分别在ab、a′b′ 上，且符合点的投影规律。

（2）平面上的直线

视频讲解主讲人：解咏平 教授13′11″

直线在平面上的几何条件是：如果直线经过平面上两个点，或经过平面上一点，且平行于平面上的一条直线，则此直线必定在该平面上。

图3-20（a）所示，在平面ΔABC决定的平面Q上，点M在直线AB上，点N在直线BC上，则直线MN在平面Q上。图3-21（a）为其投影图。平面Q的投影用ΔABC的投影表示，点M、N的投影分别在直线AB和BC的同名投影上，则直线MN在平面ΔABC上。

图3-20（b）所示，在两相交线AB和AC决定的平面R上，点E在已知直线AC上，过点E作直线EF平行于AB，则EF在平面R上。图3-21（b）为其投影图，平面的投影用两相交线AB和AC的投影表示，点E的投影在直线AC的同名投影上，即e和e′ 分别在ac和a′c′上；过E作直线EF的投影平行AB的同面投影，即ef∥ab、e′f′∥a′b′，则直线EF在两相交线AB和AC决定的平面上。

从点和直线在平面内的几何条件可以看出，欲在平面内取点，需先在平面内取线；欲在平面内取线，又需先在平面内取点。这种关系是互相制约的。

这里还为大家准备了微课程，学有余力的同学可以学习一下。

平面上的点和直线

4. 平面内的特殊位置直线

平面内的直线，其位置各不相同。其中平行于投影面的直线，与投影面成倾角最大的直线——最大斜度线，统称为平面内投影面的特殊位置直线。

（1）平面内的正平线和水平线

视频讲解主讲人：解咏平 教授20′01″

①平面内的正平线

平面内平行于V的直线，称为平面内的正平线。如图3-22所示，AⅠ为平面ΔABC内的正平线。A、Ⅰ两点在平面内，且两点的连线具有正平线的投影特性，即a1∥OX轴，a′1′反映AⅠ的实长。

②平面内的水平线

平面内平行于H的直线，称为平面内的水平线。如图3-22所示，CⅡ为平面ΔABC内的水平线。它的性质与平面内正平线类似。c′2′∥OX轴，c2反映CⅡ的实长。

（2）平面内的最大斜度线

视频讲解主讲人：解咏平 教授20′36″

平面内对投影面的最大斜度线是指该平面内对该投影面倾角最大的某一条直线。平面内对投影面的最大斜度线必垂直于平面内的该投影面的平行线。如图3-23所示，L是平面P内的水平线，AB属于平面P，AB⊥L，AB是平面P内对H面的最大斜度线。一般位置平面对投影面的倾角可用最大斜度线对投影面的倾角来定义。如图3-23所示，AB对H面的倾角α就是平面P与H面所成二面角的平面角，即平面P对H面的倾角α。

平面内对V投影面的最大斜度线，应垂直于该平面内的正平线。平面对V 面的倾角β等于平面内对V面的最大斜度线的β角。

这里还为大家准备了微课程，学有余力的同学可以学习一下。

平面内的特殊位置直线

5. 直线与平面相交、平面与平面相交

直线与平面相交有一个交点，交点是公共点，它既在直线上又在平面上；平面与平面相交有一条交线，交线是两平面的公共线，即同时位于两个平面上，求交点、交线，利用共有性求解。

（1）特殊情况相交

特殊情况相交，是指参与相交的无论是直线还是平面，至少有一个元素对投影面处于特殊位置，它在该投影面上的投影有积聚性。在投影作图中，则利用积聚性可以直接确定交点或交线的一个投影，而后再利用线上定点或面上定点的方法求交点的第二个投影，利用面上定线的方法求出交线的第二投影。

①直线与平面相交

视频讲解主讲人：解咏平 教授12′15″

图3- 24所示为直线AB与铅垂面P相交。铅垂面的水平投影具有积聚性，积聚投影与直线的水平投影的交点即为交点的投影，而交点的另一投影必在该直线的另一投影上。

直线与平面相交后， 直线便从平面的一侧到了平面的另一侧（以交点为分界）。假定平面是不透明的，则沿投射方向观察直线时，位于平面两侧的直线，一侧直线看得见，另一侧直线则被平面遮挡而看不见，这就有判别可见性的问题。在作图时，要把看得见的直线画成粗实线，把看不见的直线画成虚线，交点是可见与不可见的分界点。

②平面与平面相交

视频讲解主讲人：解咏平 教授24′15″

图3-25所示为铅垂面ΔABC与一般位置平面ΔEFG相交。铅垂面ΔABC的水平投影具有积聚性，积聚投影与一般位置平面ΔEFG的水平投影重合部分，即为交线的投影，而交线的另一投影必在该平面的另一投影上。

两平面相交后，假定两平面都是不透明的，则它们必定互相遮挡，而且不管对哪个平面来说，都是以交线为分界，被遮挡的部分看不见，未被遮挡的部分看得见，交线是可见的。

（2）一般情况相交

一般情况相交，是指参与相交的无论是直线还是平面，在投影体系中均处于一般位置。在这种情况下，它们的投影无积聚性，直线与平面交点投影、平面与平面交线的投影不能利用积聚性求出。可通过作辅助面的方法求出交点或交线的投影。

①直线与平面相交

视频讲解主讲人：解咏平 教授13′20″

图3-26所示为一般位置直线EF和一般位置平面ΔABC相交。为求EF和平面ΔABC交点的投影，可通过直线EF作辅助平面P，与平面ΔABC的交于直线MN，同在平面P上的两直线EF和MN（MN为ΔABC上的一条直线），必有一交点K，即为直线EF与平面ΔABC的交点。因为K在EF上，又在MN上，所以必在EF和平面ΔABC，即K为EF与平面ΔABC的公有点，亦即所求的交点。这种求交点的方法称为辅助平面法。

通过辅助平面法求交点，具体分为三个步骤：

步骤	详解
1	过已知直线作一辅助平面。为使作图简单，辅助平面应选择投影面的垂直面，如正垂面、铅垂面等。
2	求出辅助平面和已知平面的交线。
3	已知直线和上述交线的交点，即为直线与平面的交点。

图3-27所示为求直线EF和平面ΔABC的交点投影的作图方法。

（a）已知条件 （b）作图方法 （c）判断可见性

作图方法（图3-27（b））：

• 包含直线EF作铅垂面P，则铅垂面P的水平投影PH与ef重合；
• 求出平面P与平面ΔABC的交线MN，因为铅垂面P的水平投影具有积聚性，直接定出mn，再求出m′n′；
• 交线的正面投影m′n′ 和直线EF的正面投影e′f′ 的交点k′，即为交点的正面投影，过k′ 向下作OX轴垂线和直线EF的水平投影ef相交，求出交点的水平投影k。

判断可见性（图3-27（c））：

因为直线EF和平面ΔABC均处于一般位置，H面、V面投影均要分别判断可见性。

• 先判断正面投影的可见性。平面ΔABC中的AC边和直线EF的正面投影重影点为1′（2′）。I点在EF上，II点在AC上，由1′（2′）求出其水平投影1、2。由水平投影可以看出1在2的前面，说明I点的y坐标大于II点的y坐标，即点I在点II的前方。向V面投影，EF上的I可见，AC上的II不可见，所以k′f′ 与Δa′b′c′ 的重影部分为可见。那么，k′e′ 与Δa′b′c′ 的重影部分就不可见。
• 再判断水平投影的可见性。平面ΔABC中的BC边和直线EF的水平投影重影点为3（4），III点在EF上，IV点在BC边上，由3（4）求出其正面投影3′、4′。由正面投影可以看出3′ 在4′的上面，说明III点的z坐标大于IV点的z坐标，即点III在点IV的上方。向H面投影，EF上的III可见，BC上的IV不可见，所以ke与Δabc重影部分可见。那么，kf与Δabc重影部分就不可见。

②平面与平面相交

视频讲解主讲人：解咏平 教授21′32″

图3-28所示为平面ΔABC和平面□EFGH相交。两面相交的交线是两面的共有线，只要作出两一般位置平面的两个公有点，连接起来就是该两面的交线。由于两一般位置平面的位置各有不同，它们的交线有全在一个面的轮廓之内的（图3-28（a）），也有互相穿插的（图3-28（b）），也有在两平面图形之外的（图3-28（c））。根据不同情况，求交线的方法有线面交点法、辅助平面法等。

求交线的方法	详解
线面交点方法求交线	在两平面相交时，选取两根直线，分别与另一平面相交，求出它们的交点，连接起来，即为所求的交线。
辅助平面法	如图3-28（c）所示，相交两平面在图形有限范围内不相交，为求交线用辅助平面法求它们的交线。用辅助平面H1截已知平面P和Q，分别截得两交线L1和 L2，它们的交点M，就是两平面P和Q的一个公共点。同样在用一个辅助平面H2截已知平面P和Q，可得另一交点N，MN即为所求的交线。为方便作图，两辅助平面可选用平行的两个投影面平行面或投影面垂直面。